Чему равна сумма углов вписанного четырехугольника

Вписанный четырехугольник (четырехугольник, вписанный в окружность) обладает особыми свойствами, касающимися суммы его углов. Рассмотрим это важное геометрическое свойство.

1. Основная теорема о вписанном четырехугольнике

Для любого четырехугольника, вписанного в окружность, сумма противоположных углов равна 180 градусам. Это фундаментальное свойство известно как теорема о вписанном четырехугольнике.

2. Формулировка теоремы

3. Доказательство свойства

Доказательство основано на свойствах вписанных углов:

1. Каждый угол четырехугольника является вписанным углом
2. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается
3. Противоположные углы опираются на дополняющие друг друга дуги
4. Сумма этих дуг составляет 360° (полная окружность)
5. Следовательно, сумма противоположных углов равна 180°

4. Примеры расчетов

4.1. Прямоугольник

• Все углы равны 90°
• 90° + 90° = 180° для любой пары противоположных углов

4.2. Произвольный вписанный четырехугольник

• Углы: 80°, 95°, 100°, 85°
• 80° + 100° = 180°
• 95° + 85° = 180°

5. Признак вписанного четырехугольника

Обратная теорема: если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°, то около него можно описать окружность.

6. Практическое применение

• Построение точных чертежей в технике
• Решение геометрических задач на вычисление
• Проверка возможности описания окружности около четырехугольника
• Конструирование механических деталей

7. Сравнение с другими четырехугольниками

Заключение

Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника всегда равна 180 градусам. Это свойство является одновременно характеристическим признаком и полезным инструментом для решения геометрических задач. Оно находит применение как в теоретической геометрии, так и в практических областях, требующих точных геометрических построений.